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CapStats

Published

June 12, 2024

Clase de Estadística: Espacio de Probabilidad

Objetivos de la Clase

  1. Definir y entender el concepto de espacio de probabilidad.
  2. Identificar y diferenciar los componentes de un espacio de probabilidad.
  3. Aplicar el concepto de espacio de probabilidad en ejemplos prácticos.

Materiales Necesarios

  • Pizarra y marcadores (o proyector y diapositivas)
  • Calculadora
  • Cuadernos y bolígrafos para los estudiantes

Parte 1: Introducción Teórica

1.1 Definición de Espacio de Probabilidad

Un espacio de probabilidad es un modelo matemático que representa todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se denota como un triplete ((, , P)), donde:

  • () es el espacio muestral: el conjunto de todos los posibles resultados.
  • () es una sigma-álgebra: una colección de subconjuntos de () que incluye al conjunto vacío y es cerrada bajo complementos y uniones contables.
  • (P) es una medida de probabilidad: una función que asigna un número en el intervalo ([0, 1]) a cada evento en () tal que (P() = 1).

1.2 Componentes del Espacio de Probabilidad

  • Espacio muestral (()): Puede ser finito o infinito. Ejemplo: En un lanzamiento de un dado, (= {1, 2, 3, 4, 5, 6}).
  • Eventos (()): Subconjuntos de (). Ejemplo: “Sacar un número par” es un evento que puede representarse como ({2, 4, 6}).
  • Medida de probabilidad (P): Satisface las siguientes propiedades:
    • No negatividad: (P(A) ) para cualquier (A ).
    • Normalización: (P() = 1).
    • Aditividad contable: Si ({A_i}) es una colección de eventos disjuntos, entonces (P({i} A_i) = {i} P(A_i)).

Parte 2: Ejemplos Prácticos

Ejemplo 1: Lanzamiento de un Dado

  • (= {1, 2, 3, 4, 5, 6})
  • ( = {, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1, 2}, , })
  • (P({i}) = ) para (i )

Ejemplo 2: Lanzamiento de una Moneda

  • (= {Cara, Cruz})
  • ( = {, {Cara}, {Cruz}, })
  • (P({Cara}) = ), (P({Cruz}) = )

Parte 3: Ejercicios

Ejercicio 1: Lanzamiento de dos Dados

  1. Definir el espacio muestral ().
  2. Listar algunos eventos posibles.
  3. Asignar probabilidades a los eventos.

Ejercicio 2: Experimento de Extracción de una Carta de una Baraja

  1. Definir el espacio muestral ().
  2. Definir un evento específico (por ejemplo, sacar un As).
  3. Calcular la probabilidad del evento.

Ejercicio 3: Bolsa con Bolas de Colores

  1. Una bolsa contiene 3 bolas rojas, 2 verdes y 5 azules. Definir ().
  2. Calcular la probabilidad de sacar una bola roja.
  3. Calcular la probabilidad de sacar una bola de cualquier otro color.